a, xét tam giác AHB và tg AHC có : ^AHC = ^AHB = 90

AB = AC do tg ABC cân tại A (gt)

^ABC = ^ACB do tg ABC ... 

=> tg AHB = tg AHC (ch-gn)

b, tg ABC cân tại A (Gt) mà có AH là đường cao   (1)

=> AH đồng thời là đường trung tuyến

=> H là trung điểm của BC 

=> BH = 1/2BC = 6 cm

tg AHB vuông tại H (gt) => AB^2 = AH^2 + HB^2 (ĐL pytago)

AB = 10 (gt)

=> AH = 8 do AH > 0

c,   (1) => AH đồng thời là pg của ^BAC (đl)

=> ^CAH = ^BAH (đn)

có HE // AC (gt) ; ^CAH slt ^AHE => ^CAH = ^AHE (đl)

=> ^BAH = ^AHE 

=> tg AHE cân tại E (dh)

1: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

=>H là trung điểm của BC

2: Ta có: H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA^2=10^2-6^2=64\)

=>\(HA=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

3: Xét ΔAHN có

AF là đường cao

AF là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHN cân tại A

=>AH=AH

4: Xét ΔAHM có

AE là đường trung tuyến

AE là đường cao

Do đó: ΔAHM cân tại A

=>AM=AH

Ta có: ΔAHN cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của góc HAN

=>\(\widehat{HAN}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: ΔAHM cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là phân giác của góc HAM

=>\(\widehat{HAM}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Ta có: AM=AH

AH=AN

Do đó: AM=AN

Ta có: \(\widehat{HAM}+\widehat{HAN}=\widehat{MAN}\)

=>\(\widehat{MAN}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{MAN}=2\cdot\widehat{BAC}\)

Để A là trung điểm của MN thì AM=AN và góc MAN=180 độ

=>góc MAN=180 độ

=>\(2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

a) Xét 2 tam giác vuông ΔABH và ΔACH ta có:

C.h AB = AC (GT)

AH: cạnh chung

=> ΔABH = ΔACH (c.h - c.g.v)

b) ΔABC cân tại A (GT)

Lại có: AH là đường cao của ΔABC

=> AH là đường trung tuyến của ΔABC

=> H là trung điểm của BC

\(\Rightarrow BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.12=6\left(cm\right)\)

ΔABH vuông tại H. Áp dụng định lí Pitago ta có:

AB² = AH² + BH²

=> AH² = AB² - BH² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64

=> AH = 8 (cm)

c) Có: ΔABH = ΔACH (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (2 góc tương ứng) (1)

Hay: \(\widehat{EAH}=\widehat{CAH}\)

Có: EH // AC (GT)

\(\Rightarrow\widehat{EHA}=\widehat{CAH}\) (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{EHA}\)

=> ΔAEH cân tại E

d/

à thanks mình xin lỗi nhé ! 

a, Xét tam giác HAC và tam giác ABC ta có 

^AHC = ^BAC = 90⁰

^C _ chung 

Vậy tam giác HAC ~ tam giác ABC ( g.g ) (1) 

\(\Rightarrow\frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC}\) ( tí số đồng dạng ) (3) 

Xét tam giác HAB và tam giác ABC ta có : 

^AHB = ^BAC = 90⁰

^B _ chung 

Vậy tam giác HAB ~ tam giác ABC ( g.g ) (2)

Từ (1) ; (2) suy ra : tam giác HAC ~ tam giác HAB 

b, Từ (3) ta có : \(\frac{HA}{15}=\frac{20}{25}\)( BC = 25 cm theo Py ta go )

\(\Rightarrow HA=\frac{15.20}{25}=12\)cm 

Kéo dài MN, cắt AC tại I. Do đó N là giao điểm của MI và AH (vì \(N\in AH\)) và \(I\in AC\)

Xét \(\Delta HAB\)có:

\(MB=MH\)(giả thiết).

\(NA=NH\)(giả thiết).

\(\Rightarrow MN\)là đường trung bình của \(\Delta HAB\).

\(\Rightarrow MN//AB\)(tính chất).

\(\Rightarrow MI//AB\).

Mà \(AB\perp AC\)(vì \(\Delta ABC\)vuông tại A).

\(\Rightarrow MI\perp AC\)

Xét \(\Delta MAC\)có:

\(MI\perp AC\left(I\in AC\right)\)(chứng minh trên).

\(AH\perp MC\)(vì \(AH\perp BC\)).

Và N la giao điểm của MI và AH.

\(\Rightarrow N\)là trực tâm của \(\Delta MAC\)

\(\Rightarrow CN\perp AM\)(điều phải chứng minh).

a: Xét ΔBAH và ΔBCA có

BA/BC=BH/BA

góc B chung

=>ΔBAH đồng dạng với ΔBCA

=>AH/CA=BA/BC

=>AH*BC=AB*AC

b: AH*25=15*20

=>AH=12cm

ΔBAH đồng dạng với ΔBCA

=>góc BHA=góc BAC=90 độ

=>AH vuông góc BC

1. Xét hai tam giác vuông ΔABHΔABH và ΔACHΔACH có:

AHAH cạnh chung

AB=AC=10cmAB=AC=10cm (gt)

Vậy ΔABH=ΔACHΔABH=ΔACH (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

HC=HBHC=HB (hai cạnh tương ứng) hay H là trung điểm BC

2. BH=HC=BC2=122=6BH=HC=BC2=122=6 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔΔ vuông ABHABH có:

AH2=AB2−HB2=102−62=64⇒AH=8AH2=AB2−HB2=102−62=64⇒AH=8 cm

3. Xét ΔAKEΔAKE và ΔAKHΔAKH có:

AKAK chung

ˆAKE=ˆAKH=90oAKE^=AKH^=90o (do HK⊥ACHK⊥AC)

KE=KHKE=KH (do giả thiết cho K là trung điểm của HE)

⇒ΔAKE=ΔAKH⇒ΔAKE=ΔAKH (c.g.c)

⇒AE=AH⇒AE=AH (hai cạnh tương ứng) (1)

Cách khác để chứng minh AE=AH

Do ΔAHEΔAHE có K là trung điểm của HE nên AK là đường trung tuyến,

Có HK⊥ACHK⊥AC hay AK⊥HEAK⊥HE nên AK là đường cao

ΔAHEΔAHE có AK là đường trung tuyến cũng là đường cao nên ΔAHEΔAHE cân đỉnh A nên AE=AH.

4. Ta có HI⊥ABHI⊥AB hay AI⊥DH⇒AI⊥DH⇒ AI là đường cao của ΔADHΔADH
Mà IH=ID nên AI cũng là đường trung tuyến ΔADHΔADH 
Vậy ΔAEHΔAEH cân tại A
Nên AD=AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE=AD hay ΔAEDΔAED cân tại A.

5. Xét 2 tam giác vuông ΔAHIΔAHI và ΔAHKΔAHK có:

AH chung

ˆIAH=ˆKAHIAH^=KAH^ (hai góc tương ứng của ΔABH=ΔACHΔABH=ΔACH)

⇒ΔAHI=ΔAHK⇒ΔAHI=ΔAHK (cạnh huyền- góc nhọn)

⇒HI=HK⇒2HI=2HK⇒HD=HE⇒HI=HK⇒2HI=2HK⇒HD=HE

Mà ta có AD=AEAD=AE (cmt)

⇒AH⇒AH là đường trung trực của DE⇒AH⊥DEDE⇒AH⊥DE mà AH⊥BCAH⊥BC

⇒DE//BC⇒DE//BC

6. Để A là trung điểm ED thì DA⊥AHDA⊥AH mà ΔADHΔADH cân (cmt) nên ΔADHΔADH vuông cân đỉnh A.

Có AIAI là đường cao, đường trung tuyến nên AIAI cũng là đường phân giác nên

ˆDAI=ˆHAI=90o2=45oDAI^=HAI^=90o2=45o

⇒ˆIAH=ˆBAH=ˆCAH=45o⇒IAH^=BAH^=CAH^=45o (do ΔABH=ΔACHΔABH=ΔACH)

⇒ˆBAC=ˆBAH+ˆCAH=90o⇒BAC^=BAH^+CAH^=90o và ΔABCΔABC cân đỉnh A

⇒ΔABC⇒ΔABC vuông cân đỉnh A.

Vậy nếu ΔABCΔABC vuông cân đỉnh A thì AA là trung điểm của DE.